- •I. Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии.
- •1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-ого порядка и его вычисление.
- •Свойства определителей.
- •2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Основные действия над матрицами.
- •Обратная матрица.
- •Свойства обратных матриц.
- •3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.
- •Элементарные преобразования систем.
- •Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы)
- •Метод Крамера.
- •4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •5. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение. Метод Гаусса.
- •Однородные системы линейных уравнений
- •6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Свойства векторов.
- •7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
- •Некоторые свойства проекций
- •8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Линейная зависимость векторов.
- •9. Декартова система координат. Координаты вектора. Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Линейные операции над векторами в координатах.
- •10. Направляющие косинусы, длина вектора.
- •11. Деление отрезка в данном отношении.
- •12. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •13. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства векторного произведения векторов:
- •14. Смешенное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.
- •Свойства смешанного произведения:
- •15. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
- •Уравнение прямой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Параметрическое уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •2. Условие перпендикулярности.
- •16. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение плоскости.
- •Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
- •Уравнение плоскости в отрезках.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •17. Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •18. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •20. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Исследование поверхностей методом сечений. Поверхности второго порядка.
- •С фера:
- •К онус второго порядка:
- •Двуполостный гиперболоид:
- •Эллиптический параболоид:
- •Г иперболический параболоид:
- •II. Введение в математический анализ
- •21. Множество действительных чисел.
- •Операции над множествами.
- •22. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.
- •Способы задания функций
- •Сложная функция.
- •Обратная функция.
- •23. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.
- •24. Гиперболические функции, их свойства и графики.
- •25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •26. Число е. Натуральные логарифмы.
- •Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •2 7. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.
- •28. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.
- •29. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
- •Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •30. Основные теоремы о пределах.
- •Теорема доказана.
- •31. Первый и второй замечательные пределы.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций.
- •33. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- •34. Свойства функций непрерывных в точке.
- •Непрерывность некоторых элементарных функций.
- •35. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Коши, о промежуточных значениях) и их геометрических смысл.
- •III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •36. Задачи, приводящие к определению производной.
- •37. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.
- •38. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции. Односторонние производные функции в точке.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратных функций.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Производные основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции.
- •42. Свойства дифференциала и инвариантность его формулы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Общие правила нахождения высших производных.
- •44. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля (с доказательством), Коши (без доказательства), Лагранжа (с доказательством). Теорема Ролля
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа.
- •45. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности ). Правило Лопиталя.
- •Точки экстремума.
- •Асимптоты.
- •Вертикальные асимптоты.
- •Наклонные асимптоты.
Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
y
b M(x, y)
r1
r2
F1 a F2
c
По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
y
a/e d
M(x, y)
r1
0 a F1 x
OF1 = c
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c)2 + y2 = r2
Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
Итого: .
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .
Для эллипса: c2 = a2 – b2.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2.
Уравнение гиперболы: .
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением
Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;
b2 = 16 – 4 = 12.
Итого: - искомое уравнение гиперболы.
Парабола.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
О F x
p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
Вывод канонических уравнений и исследование формы кривых по их каноническим уравнениям в конспекте и книге!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!